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y2 + 16y – 480 = 0 的探索之旅

想象一下：籃球在空中劃出優(yōu)美的拋物線，設(shè)計(jì)師構(gòu)思著拱形門窗的弧度，或是工程師計(jì)算橋梁的承重曲線，這些看似無關(guān)的場(chǎng)景，核心都隱藏著一個(gè)數(shù)學(xué)伙伴——二次方程，我們就化身數(shù)學(xué)偵探，一步步解開 y2 + 16y - 480 = 0 的奧秘，領(lǐng)略數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔之美。

第一步：方程的本質(zhì)與目標(biāo)

眼前這個(gè) y2 + 16y - 480 = 0，就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二次方程，它的核心結(jié)構(gòu)清晰：ay2 + by + c = 0。a = 1 (y2的系數(shù))，b = 16 (y的系數(shù))，c = -480 (常數(shù)項(xiàng))，我們的終極目標(biāo)，是找到那些能讓等式成立的 y 值，數(shù)學(xué)上稱之為方程的“根”或“解”。

第二步：利器在手——求根公式

面對(duì)二次方程,代數(shù)工具箱里有一件強(qiáng)大武器——求根公式，它像一把萬能鑰匙：

y = [-b ± √(b2 – 4ac)] / (2a)

這個(gè)公式直接關(guān)聯(lián)著系數(shù) a, b, c，只要代入數(shù)值，計(jì)算，答案便自然浮現(xiàn)，就讓我們把 a=1, b=16, c=-480 代入公式，開啟求解之旅。

第三步：代入與計(jì)算（核心步驟）

1. 計(jì)算判別式 (D)： 公式中根號(hào)內(nèi)的 b2 - 4ac 至關(guān)重要，稱為判別式（Discriminant），記為 D，它決定了方程解的性質(zhì)（實(shí)數(shù)解、復(fù)數(shù)解、重根）。

   
   • D = b2 - 4ac = (16)2 - 4 * 1 * (-480)
   • D = 256 + 1920 (注意：減去 4*1*(-480) 等于加上 1920)
   • D = 2176

2. 計(jì)算平方根： 判別式 D = 2176 是一個(gè)正數(shù)，意味著方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，接下來計(jì)算它的平方根 √2176。

   • 尋找因數(shù)：2176 ÷ 16 = 136，136 ÷ 16 = 8.5（非整數(shù)），嘗試 2176 ÷ 64 = 34。34 可分解為 2*17。
   • 2176 = 64 * 34 = 64 * 2 * 17 = 128 * 17。
   • √2176 = √(64 * 34) = √64 * √34 = 8√34。
   • 為精確代入公式,保留 √2176 形式或計(jì)算數(shù)值近似值 ≈46.6476。

3. 代入求根公式：

   • y = [-16 ± √2176] / (2 * 1)
   • 即 y = [-16 ± √2176] / 2
   • 也可寫作 y = [-16 ± 8√34] / 2 或 y = -8 ± 4√34。

第四步：得出精確解

通過以上計(jì)算,我們得到了方程 y2 + 16y - 480 = 0 的兩個(gè)精確解：

y? = [-16 + √2176] / 2 或 y? = -8 + 4√34
y? = [-16 – √2176] / 2 或 y? = -8 – 4√34

第五步：驗(yàn)證解的可靠性（重要！）

數(shù)學(xué)的魅力在于其嚴(yán)謹(jǐn)性,得到答案后，必須進(jìn)行驗(yàn)證，將求得的解代回原方程，檢查等式是否成立，以 y? = [-16 + √2176] / 2 為例：

1. 計(jì)算 y?2： ([-16 + √2176]/2)2 = (256 - 32√2176 + 2176) / 4 = (2432 - 32√2176)/4 = 608 - 8√2176。
2. 計(jì)算 16y?： 16 * ([-16 + √2176]/2) = 8 * (-16 + √2176) = -128 + 8√2176。
3. 相加 y?2 + 16y? - 480：
   • (608 - 8√2176) + (-128 + 8√2176) - 480
   • 608 - 128 - 480 + (-8√2176 + 8√2176)
   • (608 - 128 = 480; 480 - 480 = 0) + 0
   • = 0。 完美成立！

同樣方法可驗(yàn)證 y? 也滿足方程，這證明了我們求解過程的正確性。

第六步：解的實(shí)用化——近似值

精確解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美感,但在實(shí)際應(yīng)用中（如計(jì)算尺寸、預(yù)測(cè)落點(diǎn)），我們往往需要具體的數(shù)值，計(jì)算 √2176 ≈ 46.6476：

• y? = [-16 + 46.6476] / 2 ≈ 30.6476 / 2 ≈ 15.3238
• y? = [-16 - 46.6476] / 2 ≈ -62.6476 / 2 ≈ -31.3238

方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根近似為 y ≈ 15.32 和 y ≈ -31.32，工程師在設(shè)計(jì)拱門高度時(shí)，會(huì)選擇正值解15.32（單位視具體情境而定）；物理學(xué)家分析物體軌跡時(shí)，兩個(gè)解可能對(duì)應(yīng)物體上升與下落經(jīng)過某高度的時(shí)刻。

數(shù)學(xué)思維的價(jià)值

解開 y2 + 16y - 480 = 0 的過程，遠(yuǎn)不止于得到兩個(gè)數(shù)字，它是一次完整的數(shù)學(xué)實(shí)踐：

1. 問題識(shí)別： 明確對(duì)象（二次方程）與目標(biāo)（求解）。
2. 工具選擇： 根據(jù)問題特征（標(biāo)準(zhǔn)二次型），選取最合適的解法（求根公式）。
3. 精確執(zhí)行： 按步驟嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算判別式、代入公式。
4. 嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證： 代回檢驗(yàn)，確保結(jié)果無誤。
5. 結(jié)果詮釋： 理解精確解與近似值的意義，聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用。

這種結(jié)構(gòu)化的思維模式——定義問題、選擇方法、執(zhí)行計(jì)算、驗(yàn)證結(jié)果、應(yīng)用結(jié)論——是數(shù)學(xué)賦予我們的核心能力，它適用于編程調(diào)試、商業(yè)決策、科學(xué)實(shí)驗(yàn)等眾多領(lǐng)域，一位資深工程師曾分享，他在設(shè)計(jì)關(guān)鍵承重結(jié)構(gòu)時(shí)，正是依靠同樣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆匠糖蠼夂徒Y(jié)果驗(yàn)證流程，確保橋梁安全可靠地跨越江河，數(shù)學(xué)從來不是抽象的游戲，而是理解世界、構(gòu)建現(xiàn)實(shí)的重要基石，下一次當(dāng)你看到優(yōu)美的曲線或精巧的結(jié)構(gòu)，或許就能感受到其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方程之美。

本文標(biāo)題：y平方加16y減480等于多少？它的兩個(gè)解是什么？

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